Елена Владимировна родилась 25 августа 1966 года. В 1993 году окончила Костромской государственный педагогический институт имени Н.А. Некрасова по направлению «Педагогика и методика воспитательной работы».

На работу в органы исполнительной власти пришла в 2006 году, заняв должность главного специалиста отдела развития дошкольного, общего и дополнительного образования департамента образования Архангельской области. В 2010 году Елена Молчанова была назначена начальником отдела общего, дошкольного и дополнительного образования регионального министерства образования и науки, а с 2014 года – заместителем министра образования и науки Архангельской области.

В 2016 году перешла на работу в министерство труда, занятости и социального развития Архангельской области, где занимала аналогичный пост – заместителя министра. В том же году была назначена на должность министра труда, занятости и социального развития Архангельской области, которую занимала до конца 2020 года.